王沙，楊志安，任中京

(濟南大學(xué)理學(xué)院，山東濟南250022)

摘要：互信息函數(shù)反映的是系統(tǒng)中的非線性關(guān)聯(lián)，是將線性的關(guān)聯(lián)函數(shù)對非線性系統(tǒng)的一種推廣，動態(tài)光散射領(lǐng)域目前未見到用計算互信息函數(shù)進行分析的報道。本文中通過計算互信息函數(shù)，對動態(tài)光散射檢測電機轉(zhuǎn)速的時間序列進行分析，研究表明，互信息函數(shù)法能準確地測出電機轉(zhuǎn)速。同時，由于互信息函數(shù)自身的優(yōu)點——能實際地反映出數(shù)據(jù)之間的相互關(guān)聯(lián)，因此，與自相關(guān)函數(shù)法比較，互信息函數(shù)法反映出了更多的動力學(xué)信息。目前正在把互信息函數(shù)分析法用于檢測顆粒粒徑的實驗當中。希望利用互信息函數(shù)分析的方法，在動態(tài)光散射檢測顆粒粒徑的實驗當中得到更多的動力學(xué)信息。并進一步應(yīng)用于納米顆粒粒徑的動態(tài)光散射檢測中。

關(guān)鍵詞：互信息函數(shù)；動態(tài)光散射；自相關(guān)函數(shù)。

本文利用互信息函數(shù)對動態(tài)光散射法測電機轉(zhuǎn)速的實驗進行了研究，準確測出了電機的轉(zhuǎn)速。文中比較了互信息函數(shù)法與自相關(guān)函數(shù)法^[2]兩種方法的優(yōu)劣。

1. 原理

按Shannon的信息理論，設(shè)S表示一組訊號為s₁，s₂，…，s_n的系統(tǒng)，出現(xiàn)s₁的概率P_s(s _?)，i = 1，2，…，n。對另一組訊號為q₁，q₂，…，q_n的系統(tǒng)Q，出現(xiàn)q_j的概率是P _q (q_j),j= 1，2，…，n。s _?和q_jq同時出現(xiàn)的概率P_sq(s _?, q_j)。互信息的定義為^[3]

I(S, Q) 度量的是變量S與Q之間的一般性關(guān)聯(lián)程度，或比值P_sq(s _?, q_j)/ P_s(s _?j) P_q(q_j) 的整體不平整程度。互信息越大，變童S與Q之間的關(guān)聯(lián)程度越強，系統(tǒng)的不平整程度越高，系統(tǒng)越不均勻；互信息越小，S與Q之間的關(guān)聯(lián)程度越弱，系統(tǒng)的不平整程度越低，系統(tǒng)越均勻。

在光子互信息法檢測電機轉(zhuǎn)速的實驗研究中，主要關(guān)心的是測量數(shù)據(jù)隨延遲時間T的周期性，從而得出電機的轉(zhuǎn)速。在計算中，對某給定的延遲時間T，令[s,q]=[x(t),x(t+T)]，這時互信息I是延遲時間T的函數(shù)I (T)。

因為電機轉(zhuǎn)動是周期性的動力系統(tǒng)，其狀態(tài)隨時間的演化可表示成s = x(T)= Sint，則延遲坐標可表示成q = x(t+T)= sin(t+T)，其中T是延遲時間。當延遲T₁=0 時，q = x(t+T)= sin(t+0)=sin t，這時s與q是同一變量與，s與q間的關(guān)聯(lián)zui強，這時I (T₁)取極大值。設(shè)系統(tǒng)周期是τ，當

T₂=τ時，q = x(t+τ)= sin(t+τ)=sint，使互信息I (T₂)又取極大值，則兩個極大點之差T₂ - T₁= τ即為系統(tǒng)的周期。所以只要找出互信息I的兩個相鄰極大值所對應(yīng)的極大點T₁和T₂，其差值τ= T₂ - T₁就是系統(tǒng)的周期。當周期τ確定后，就可求出轉(zhuǎn)速。另外利用由互信息I (T)的極大值來確定周期，易于辨別和計算。

在測電機轉(zhuǎn)速的實驗中，由于電機所帶動的轉(zhuǎn)動圓盤是不*均勻的，在轉(zhuǎn)動的過程中，從其上面散射的光就會呈現(xiàn)周期性。我們首先用探測器來接收這些散射光，得到散射光的時間序列；其次編制出計算互信息的程序，計算出給定延遲時間T值下的互信息值I (T)，得出互信息函數(shù)曲線；zui后利用互信息函數(shù)曲線，求出轉(zhuǎn)動的周期性，從而求出轉(zhuǎn)速。

2. 實驗裝置

實驗系統(tǒng)如圖1所示。

1.永磁直流電動機；2.圓盤；3.5.光闌圖；4.透鏡；6.計數(shù)器圖

圖1實驗系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

圖2取樣點處光子數(shù)隨時間的變化

用直流電動機帶動圓盤轉(zhuǎn)動，電機轉(zhuǎn)速可調(diào)。在一定的測量時間內(nèi)，采集的光子數(shù)隨時間變化的曲線如圖2所示。從圖3可以看出互信息處理周期變化的信號顯現(xiàn)出來。

3．由實驗數(shù)據(jù)計算電機轉(zhuǎn)速

對電機采集某一轉(zhuǎn)速下隨時間變化的光子數(shù)，用自編軟件對采集到的數(shù)據(jù)計算互信息函數(shù)，可得到互信息的函數(shù)曲線I (T)。分析互信息函數(shù)曲線的周期特性，可計算出相應(yīng)的轉(zhuǎn)速。

圖3對實驗數(shù)據(jù)的互信息處理

圖4同一組實驗數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)圖

對一組數(shù)據(jù)的互信息曲線（如圖3）進行相應(yīng)轉(zhuǎn)速計算：由互信息極大點可知圓盤轉(zhuǎn)動周期為25 x 2 ms，轉(zhuǎn)速n = 60/25×2×10^-3 = 1200 r/min。所得結(jié)果與文^[2]所用的自相關(guān)函數(shù)法（圖4）所計算出的電機轉(zhuǎn)速相同。這說明把互信息函數(shù)法應(yīng)用于動態(tài)光散射測電機轉(zhuǎn)速的實驗中是可行的。

4．討論

本文將互信息函數(shù)應(yīng)用于動態(tài)光散射檢測電機轉(zhuǎn)速的研究，準確得測出電機轉(zhuǎn)速，這一結(jié)果與自相關(guān)函數(shù)法的結(jié)果一致。并且互信息函數(shù)法是真正意義上的相互關(guān)聯(lián)，可得到更多系統(tǒng)的動力學(xué)信息，這些信息常常被淹沒于噪聲中。

目前正在把互信息函數(shù)分析法用于檢測顆粒粒徑的實驗當中。希望利用互信息函數(shù)分析的方法，在動態(tài)光散射檢測顆粒粒徑的實驗當中，得到更多的動力學(xué)信息。并進一步應(yīng)用于納米顆粒粒徑的動態(tài)光散射檢測中。

參考文獻：

[1]     徐秉錚. 信號分析與相關(guān)技術(shù)[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1981.

[2]     竇彥玲, 等. 光子相關(guān)法檢測電機轉(zhuǎn)速的實驗研究[J]. 濟南大學(xué)學(xué)報, 2003, 17(11).

[3]     概率論[M]. 北京: 人民教育出版社, 1979.

[4]     楊志安, 等. 用等間距格子法計算互信息函數(shù)確定延遲時間[J]. 計算物理, 1995, 12(4): 443.

Analysis On the Mutual Information Function

for Testing Dynamic Light Scattering Method

WANG Sha. YANG Zhi-an, REN Zhong-jing

(Science School, Jinan University, Jinan 250022, China)

Abstract: The mutual information function is adapted to develop the experiment of testing the rotational speed of the electrical machinery by the Photon Correlation Technique and picked up the rotational speed's information of the electrical machinery. It indicated that the mutual information function could be applicable to the experiment of testing the electrical machinery by the photon correlation technique as same as the autocorrelation function. At the same time, because of the advantage of the mutual information function, it could actually reflect the mutual correlation of the data and paid more attention to the details. So it could reflect a lot of dynamics’ subtle information.

Key words: mutual information function；dynamic light scattering；autocorrelation function